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Vorlesungs-Programm
 
Funktionentheorie behandelt die Klasse der holomorphen Funktionen. Das sind komplexwertige Funktionen auf einer beliebigen offenen Teilmenge U der komplexen Zahlen, die in allen Punkten aus U komplex differenzierbar sind.
 
Anders als im Reellen sind holomorphe Funktionen um jeden Punkt aus U in eine konvergente Potenzreihe entwickelbar. Diese Beobachtung hat weitreichende Konsequenzen. Beispielsweise gilt der Identitäts-Satz: Zwei holomorphe Funktionen auf U, deren Koinzidenzmenge (die Menge der Punkte aus U, auf denen die beiden Funktionen den gleichen Wert annehmen) einen Häufungspunkt in U besitzt, stimmen bereits auf ganz U überein.
 
Weiter besagt ein Satz von Weierstrass, dass jede auf U lokal gleichmäßig konvergente Folge holomorpher Funktionen einen holomorphen Limes besitzt. Dies ist das wichtigste Konstruktions-Prinzip holomorpher Funktionen.
 
Es folgt eine vorläufige Aufstellung des vorgesehenen Stoffes, von der aber gegen Ende je nach Vorlesungsverlauf eventuell abgewichen wird:
 
 § 1   Elementare Eigenschaften
Die Cauchy-Riemann-schen Differentialgleichungen. Die Summen-, Produkt- und Quotientenregel. Die Kettenregel.
 § 2   Holomorphe Funktionen und Potenzreihen
Der Satz von Goursat. Die lokale Version der Integralformel von Cauchy. Holomorphe Funktionen sind analytisch. Anwendung auf die Potential-Funktionen der Ebene.
 § 3   Das Maximum-Prinzip
Der Identitäts-Satz. Ein Lemma von H.A.Schwarz. Analytische Automorphismen einer Kreisscheibe. Mittelwert-Eigenschaft und Dirichlet-Prinzip.
 § 4   Fundamentale Eigenschaften
Lokale Eigenschaften. Der Satz von Weierstrass über lokal gleichmäßig konvergente Folgen. Integrale mit holomorphem Parameter. Der Integralsatz von Cauchy.
 § 5   Isolierte Singularitäten
Klassifizierung isolierter Singularitäten. Residuen und Laurent-Reihen. Der Residuensatz.
 § 6   Anwendungen des Residuensatzes
Das c-Stellen zählende Integral. Berechnung bestimmter Integrale. Summation gewisser Reihen.
 § 7   Konforme Abbildungen
Die Riemann-Sphäre. Möbius-Transformationen. Ein Stabilitäts-Kriterium für Polynome.
 § 8   Holomorphe Lineare Differential-Gleichungen
Existenz- und Eindeutigkeits-Satz auf einfach zusammenhängenden Gebieten. Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung. Differentialgleichungen vom Fuchs-Typ.
 § 9   Normale Familien
Die Montel-Theorie. Satz von Hurwitz. Der Abbildungs-Satz von Riemann mit Beispielen.
 § 10   Vorgeschriebene Nullstellen und vorgeschriebene Haupt-Teile
Der Produktsatz von Weierstrass. Der Satz von Mittag-Leffler. Beispiele: Die Gamma-Funktion von Euler und die p-Funktion von Weierstrass.

Erasmus Müller | 15.01.03, 15:09 |generated by MMLU-WML