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Vorlesungs-Programm
 
 Skriptum (Endversion 31.07.2009)

Skriptum: PDF (412kB)
Skriptum in Großdruck: PDF (402kB)
 Kapitel 1: Komplexe Differenzierbarkeit

§ 1.1 Definition: Komplexe Differenzierbarkeit, Holomorphie
§ 1.2 Definition: Reelle Differenzierbarkeit
§ 1.3 Lemma: Charakterisierung komplexer Differenzierbarkeit durch reelle
§ 1.4 Satz: Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
§ 1.5 Satz: Holomorphie von Potenzreihen
 Kapitel 2: Kurvenintegrale

§ 2.1 Definition: Kurvenintegral, Integrationsweg, Gebiet
§ 2.2 Lemma: Kurvenintegrale von (z-c)n längs Kreislinien
§ 2.3 Lemma: Standardabschätzung
§ 2.4 Definition: Stammfunktion
§ 2.5 Definition: Homotopie
§ 2.6 Satz: Kurvenintegral bei Existenz einer Stammfunktion
§ 2.7 Definition: Sternförmige Menge, Sterngebiet
§ 2.8 Lemma: Dreiecksbedingung für Stammfunktionen auf konvexen Gebieten
§ 2.9 Lemma von Goursat
§ 2.10 Satz: Cauchyscher Integralsatz für konvexe Gebiete
§ 2.11 Anwendungsbeispiel
 Kapitel 3: Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz: Einige Hauptsätze der Funktionentheorie

§ 3.1 Satz: Cauchysche Integralformel
§ 3.2 Korollar: Mittelwerteigenschaft
§ 3.3 Satz: Potenzreihenentwicklungssatz
§ 3.4 Definition: Ganze Funktion, Grenzwert "z gegen Unendlich"
§ 3.5 Satz von Liouville
§ 3.6 Korollar: Fundamentalsatz der Algebra
§ 3.7 Satz: Holomorphie der Ableitungen
§ 3.8 Satz von Morera
§ 3.9 Definition: Kompakte Konvergenz
§ 3.10 Satz von Weierstraß für kompakt konvergente Folgen
§ 3.11 Beispiel Zetafunktion
§ 3.12 Satz: Identitätssatz
§ 3.13 Korollar: Isoliertheit der Nullstellen holomorpher Funktionen
§ 3.14 Korollar: Eindeutigkeit der holomorphen Fortsetzung reeller Funktionen
 Kapitel 4: Isolierte Singularitäten

§ 4.1 Definition: Isolierte Singularität, punktierte Kreisscheibe
§ 4.2 Definition: Hebbare Singularität, Pol, wesentliche Singularität
§ 4.3 Satz: Riemannscher Hebbarkeitssatz
§ 4.4 Lemma: Integration in Kreisringen
§ 4.5 Satz: Cauchysche Integralformel für punktierte Kreisscheiben
§ 4.6 Definition: Laurentreihe
§ 4.7 Satz: Laurententwicklung in isolierten Singularitäten
§ 4.8 Satz: Gleichmäßige Konvergenz von Laurentreihen
§ 4.9 Satz: Klassifikation isolierter Singularitäten mittels Laurententwicklung
§ 4.10 Satz von Casorati-Weierstraß
 Kapitel 5: Der Residuensatz

§ 5.1 Definition: Windungszahl
§ 5.2 Satz: Eigenschaften der Windungszahl
§ 5.3 Lemma: Integration von Laurentreihen auf punktierten Kreisscheiben
§ 5.4 Definition: Residuum
§ 5.5 Residuensatz
§ 5.6 Lemma: Eigenschaften des Residuums
§ 5.7 Anwendung: Integration gewisser rationaler Funktionen über die reelle Achse
§ 5.8 Anwendung: Fourierintegrale gewisser rationaler Funktionen
§ 5.9 Anwendung: Integraler gewisser rationaler Funktionen in cos und sin
 Kapitel 6: Mehr zum Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen

§ 6.1 Definition: Meromorphe Funktion, logarithmische Ableitung, Nullstellenordnung
§ 6.2 Lemma: Pole der logarithmischen Ableitung
§ 6.3 Satz: Das Null- und Polstellen zählende Integral
§ 6.4 Satz von Rouché
§ 6.5 Korollar: Ein Existenzsatz für Nullstellen
§ 6.6 Satz von der Gebietstreue
§ 6.7 Satz: Maximumprinzip
§ 6.8 Korollar: Minimumprinzip
§ 6.9 Satz: Lemma von Schwarz
 Kapitel 7: Harmonische Funktionen, biholomorphe Funktionen, konforme Funktionen

§ 7.1 Definition: Harmonische Funktion
§ 7.2 Satz: Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch
§ 7.3 Korollar: Eigenschaften harmonischer Funktionen
§ 7.4 Definition: Biholomorphe Funktion
§ 7.5 Satz: Lokale Biholomorphie
§ 7.6 Satz: Verhalten bei mehrfachen Nullstellen
§ 7.7 Definition: Konforme Abbildung
§ 7.8 Lemma: Charakterisierung linearer konformer Abbildungen
§ 7.9 Satz: Lokale Konformität holomorpher Abbildungen
§ 7.10 Definition: Möbius-Transformation
§ 7.11 Lemma: Eigenschaften von Möbius-Transformationen
§ 7.12 Definition: Riemannsche Zahlensphäre
§ 7.13 Definition: Holomorphe Funktionen auf der Riemannschen Zahlensphäre
§ 7.14 Satz: Möbius-Transformationen auf der Riemannschen Zahlensphäre
 Kapitel 8: Allgemeine Homotopieinvarianz

§ 8.1 Definition: Frei homotop, nullhomotop
§ 8.2 Satz: Allgemeine Homotopieinvarianz
§ 8.3 Definition: Einfach zusammenhängend
§ 8.4 Satz: Cauchyscher Integralsatz (Endfassung)
§ 8.5 Korollar: Verallgemeinerungen früherer Sätze

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