blatt08.mw

Blatt 8 und Vorlesungsbeispiele zu Doppelintegralen

> restart:with(plots):with (student):

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Integration über ebene Bereiche

> f(x,y):=y;

f(x, y) := y

> pr:=plot([t,t,t=0..1],scaling=constrained,thickness=3,color=blue):

> pl:=plot([t,2-t,t=1..2],thickness=3,color=blue):

> y0:=0.3: dy:=plot([t,y0,t=(y0)..(2-y0)],thickness=2,color=green):

> display(pl,pr,dy,tickmarks=[4,4]);

[Plot]

Zuerst über x von x=l(y)=y bis x=r(y)=2-y, dann über y von c=0 bis d=1:

> F1a:=Doubleint(f(x,y),x=y..2-y,y=0..1);

F1a := Int(Int(y, x = y .. 2-y), y = 0 .. 1)

> value(F1a);

1/3

> x01:=0.4: dx1:=plot([x01,t,t=0..x01],thickness=2,color=red):

> x0:=1: dx:=plot([x0,t,t=0..1],thickness=1,color=red):

> x02:=1.3: dx2:=plot([x02,t,t=0..2-x02],thickness=2,color=red):

> display(pl,pr,dx1,dx,dx2,tickmarks=[4,4]);

[Plot]

In zwei Teilen:

zuerst über y von y=u1(x)=0 bis y=o1(x)=x, dann über x von a=0 bis b=1 und

dann  über y von y=u2(x)=0 bis y=o2(x)=2-x, dann über x von a=1 bis b=2

> F1b:=Doubleint(f(x,y),y=0..x,x=0..1)+
Doubleint(f(x,y),y=0..2-x,x=1..2);

F1b := Int(Int(y, y = 0 .. x), x = 0 .. 1)+Int(Int(y, y = 0 .. 2-x), x = 1 .. 2)

> value(F1b);

1/3

Beispiel Volumen unter z=f(x,y):

> x0:=1.5; y0:=2.; yk:=-1;

x0 := 1.5

y0 := 2.

yk := -1

> f(x,y):=1/2*(x^2-x0^2)*(y^2-y0^2);

f(x, y) := 1/2*(x^2-2.25)*(y^2-4.)

> plot3d(f(x,y),x=-x0..x0,y=yk..y0,view=-0.5..5,axes=normal, grid=[20,20]);

[Plot]

> V:=Doubleint(f(x,y),y=yk..y0,x=-x0..x0);

V := Int(Int(1/2*(x^2-2.25)*(y^2-4.), y = -1 .. 2.), x = -1.5 .. 1.5)

> value(V);

20.25000000

Blatt 8 T 24

> f(x,y):=1;

f(x, y) := 1

> pr:=plot([1-1/4*t^2,t,t=-sqrt(2)..sqrt(2)],scaling=constrained,thickness=3,color=blue):

> pl:=plot([1/2*t^2-1/2,t,t=-sqrt(2)..sqrt(2)],thickness=3,color=blue):

> y0:=0.5: dy:=plot([t,y0,t=(1/2*y0^2-1/2)..(1-1/4*y0^2)],thickness=2,color=green):

> display(pl,pr,dy,tickmarks=[4,4]);

[Plot]

Zuerst über x von x=l(y) bis x=r(y), dann über y von c=-sqrt(2) bis d=sqrt(2):

> F1a:=Doubleint(f(x,y),x=1/2*(y^2-1)..1-1/4*y^2,y=-sqrt(2)..sqrt(2));

F1a := Int(Int(1, x = 1/2*y^2-1/2 .. 1-1/4*y^2), y = -2^(1/2) .. 2^(1/2))

> value(F1a);

2*2^(1/2)

> x01:=0.2: dx1:=plot([x01,t,t=-sqrt(2*x01+1)..sqrt(2*x01+1)],thickness=2,color=red):

> x0:=0.5: dx:=plot([x0,t,t=-sqrt(2)..sqrt(2)],thickness=1,color=red):

> x02:=0.8: dx2:=plot([x02,t,t=-2*sqrt(1-x02)..2*(sqrt(1-x02))],thickness=2,color=red):

> display(pl,pr,dx1,dx,dx2,tickmarks=[4,4]);

[Plot]

In zwei Teilen:

zuerst über y von y=u1(x) bis y=o1(x), dann über x von a=-1/2 bis b=1/2 und

dann  über y von y=u2(x) bis y=o2(x), dann über x von a=1/2 bis b=1

> F1b:=Doubleint(f(x,y),y=-sqrt(2*x+1)..sqrt(2*x+1),x=-1/2..1/2)+Doubleint(f(x,y),y=-2*sqrt(1-x)..2*sqrt(1-x),x=1/2..1);

F1b := Int(Int(1, y = -(2*x+1)^(1/2) .. (2*x+1)^(1/2)), x = (-1)/2 .. 1/2)+Int(Int(1, y = -2*(1-x)^(1/2) .. 2*(1-x)^(1/2)), x = 1/2 .. 1)

> value(F1b);

2*2^(1/2)

Blatt 8 T 25

> f(x,y):=y^2/x^2;

f(x, y) := y^2/x^2

> pr:=plot([t,1/t,t=1/2..1], scaling=constrained, thickness=3, color=blue):

> pr0:=plot([t,1/t,t=1/2.5..2.5], thickness=1, color=blue):

> pl:=plot([t,t,t=1..2], thickness=3, color=blue):

> pl0:=plot([t,t,t=0..2.5], thickness=1, color=blue):

> po:=plot([t,2,t=1/2..2], thickness=3, color=blue):

> y0:=1.6; dy:=plot([t,y0,t=(1/y0)..y0],thickness=2,color=green):

y0 := 1.6

> display(pl,pl0,pr,pr0,po,dy,tickmarks=[4,4]);

[Plot]

Zuerst über x von x=l(y)=1/y bis x=r(y)=y, dann über y von c=1 bis d=2:

> F2a:=Doubleint(f(x,y),x=1/y..y,y=1..2);

F2a := Int(Int(y^2/x^2, x = 1/y .. y), y = 1 .. 2)

> value(F2a);

9/4

> x01:=0.8: dx1:=plot([x01,t,t=1/x01..2], thickness=2, color=red):

> x0:=1: dx:=plot([x0,t,t=1..2], thickness=1, color=red):

> x02:=1.3: dx2:=plot([x02,t,t=x02..2], thickness=2, color=red):

> display(pl,pl0,pr,pr0,po,dx1,dx,dx2, tickmarks=[4,4]);

[Plot]

In zwei Teilen:

zuerst über y von y=u1(x)=1/x bis y=o1(x)=2, dann über x von a=1/2 bis b=1 und

dann  über y von y=u2(x) =x bis y=o2(x)=2, dann über x von a=1 bis b=2

> F2b:=Doubleint(f(x,y),y=1/x..2,x=1/2..1)+
Doubleint(f(x,y),y=x..2,x=1..2);

F2b := Int(Int(y^2/x^2, y = 1/x .. 2), x = 1/2 .. 1)+Int(Int(y^2/x^2, y = x .. 2), x = 1 .. 2)

> value(F2b);

9/4

Blatt 8 H 13

> f(x,y):=1;

f(x, y) := 1

> pr:=plot([t,1-t^2,t=0..1],scaling=constrained,thickness=3,color=blue):

> pl:=plot([t,1+t,t=-1..0],thickness=3,color=blue):

> po:=plot([t,0,t=-1..1],thickness=3,color=blue):

> y0:=0.4; dy:=plot([t,y0,t=(y0-1)..sqrt(1-y0)],thickness=2,color=green):

y0 := .4

> display(pl,pr,po,dy,tickmarks=[3,3]);

[Plot]

Zuerst über x von x=l(y)=y-1 bis x=r(y)=sqrt(1-y), dann über y von c=0 bis d=1:

> F3a:=Doubleint(f(x,y),x=y-1..sqrt(1-y),y=0..1);

F3a := Int(Int(1, x = y-1 .. (1-y)^(1/2)), y = 0 .. 1)

> F3a:=value(F3a);

F3a := 7/6

> Sxa:=1/F3a*Doubleint(x,x=y-1..sqrt(1-y),y=0..1);

Sxa := 6/7*Int(Int(x, x = y-1 .. (1-y)^(1/2)), y = 0 .. 1)

> Sxa:=value(Sxa);

Sxa := 1/14

> Sya:=1/F3a*Doubleint(y,x=y-1..sqrt(1-y),y=0..1);

Sya := 6/7*Int(Int(y, x = y-1 .. (1-y)^(1/2)), y = 0 .. 1)

> Sya:=value(Sya);

Sya := 13/35

> x01:=-0.4: dx1:=plot([x01,t,t=0..1+x01],thickness=2,color=red):

> x0:=0: dx:=plot([x0,t,t=0..1],thickness=2,color=red):

> x02:=0.3: dx2:=plot([x02,t,t=0..(1-x02^2)],thickness=2,color=red):

> display(pl,pr,po,dx1,dx,dx2,tickmarks=[3,3]);

[Plot]

In zwei Teilen:

zuerst über y von y=u1(x)=0 bis y=o1(x)=x-1, dann über x von a=-1 bis b=0 und

dann  über y von y=u2(x)=0 bis y=o2(x)=1-x^2, dann über x von a=0 bis b=1

> F3b:=Doubleint(f(x,y),y=0..(1+x),x=-1..0)+
Doubleint(f(x,y),y=0..(1-x^2),x=0..1);

F3b := Int(Int(1, y = 0 .. 1+x), x = -1 .. 0)+Int(Int(1, y = 0 .. 1-x^2), x = 0 .. 1)

> F3b:=value(F3b);

F3b := 7/6

> Sxb:=1/F3b*(Doubleint(x,y=0..(1+x),x=-1..0)+
Doubleint(x,y=0..(1-x^2),x=0..1));

Sxb := 6/7*Int(Int(x, y = 0 .. 1+x), x = -1 .. 0)+6/7*Int(Int(x, y = 0 .. 1-x^2), x = 0 .. 1)

> Sxb:=value(Sxb);

Sxb := 1/14

> Syb:=1/F3b*(Doubleint(y,y=0..(1+x),x=-1..0)+
Doubleint(y,y=0..(1-x^2),x=0..1));

Syb := 6/7*Int(Int(y, y = 0 .. 1+x), x = -1 .. 0)+6/7*Int(Int(y, y = 0 .. 1-x^2), x = 0 .. 1)

> Syb:=value(Syb);

Syb := 13/35

>